问题及解答

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{2t^2}\mathrm{d}t}
\]

由于

\[
\int_{0}^{x}e^{2t^2}\mathrm{d}t > \int_{0}^{x}\mathrm{d}x=x\rightarrow+\infty,\quad (x\rightarrow+\infty)
\]

故原极限可以使用洛必达法则. 因此,

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{2t^2}\mathrm{d}t}\xlongequal{\text{洛}}\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x^2}}{e^{2x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{e^{x^2}}=0.
\]