问题及解答

设 $G=\langle a,b\mid a^4=1,b^2=1,b^{-1}ab=a^{-1}\rangle\cong D_8$. 证明 $\text{Aut}(G)\cong D_8$ 且可被 $\alpha$ 和 $\beta$ 所生成:

\begin{eqnarray} \alpha:a\mapsto a,\quad b\mapsto ba;\\ \beta:a\mapsto a^{-1},\quad b\mapsto b. \end{eqnarray}

并有如下定义关系:

\[ \alpha^4=\beta^2=1,\quad\beta^{-1}\alpha\beta=\alpha^{-1}. \]

又 $\sigma(G)\cong C_2\times C_2=\{1,\alpha^2,\beta,\beta\alpha^2\}$, 分别由 1, $a$, $b$ 和 $ba$ 诱导出来. 由此又推出 $G$ 恰有两个 2 阶的外自同构. 它们是:

\begin{eqnarray} \beta\alpha:& a\mapsto a^{-1},\quad b\mapsto ba &\\ \beta\alpha^{-1}:& a\mapsto a^{-1},\quad b\mapsto ba^{-1}.& \end{eqnarray}

二面体群(Dihedral group) $D_8$ 和 Quaternion $Q_8$ 是仅有的两个 8 阶非交换群.

$Q_8$ 的性质:

(1) $Q_8$ 具有唯一的一个二阶元. 
(2) $Q_8$ 的所有子群都是正规的.
(3) 不存在群 $G$, 使得 $G/Z(G)\cong Q_8$.

$D_8$ 的性质:

(1) 存在无穷多个群 $G$, 使得 $G/Z(G)\cong D_8$,  例如 $D_{16}$.

References

abstract algebra - $D_8$ as a derived subgroup - Mathematics Stack Exchange