问题及解答

利用定积分的定义计算 $\int_0^1 e^x dx$

由于 $e^x$ 是 [0,1] 上的连续函数, 故可积. 将 [0,1] 作 n 等分. 则

\[\int_0^1 e^x dx=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^{n}e^{i/n}\cdot\frac{1}{n}.\]

令 $t=e^{1/n}$, 则 $\frac{1}{n}=\ln t$. 于是原式等于

\[\begin{split}\lim_{t\rightarrow 1}(\ln t)\cdot(t+t^2+t^3+\cdots+t^{n-1}+t^n)&=\lim_{t\rightarrow 1}(\ln t)\cdot t\cdot\frac{1-t^n}{1-t}\\&=\lim_{t\rightarrow 1}(t^n-1)\\&=\lim_{n\rightarrow+\infty}((e^{\frac{1}{n}})^n-1)\\&=e-1\end{split}\]

这里注意到当 $t\rightarrow 1$ 时, 有等价无穷小: $\ln t \sim (t-1)$.