问题及解答

\[\iint_{\Sigma}\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\]

(1) $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧.

(2) $\Sigma$ 是曲面 $2x^2+2y^2+z^2=4$ 的外侧.

(3)  $\Sigma$ 是曲面 $x^2+y^2+(z-2R)^2=R^2$ 的外侧.

[分析]

将闭曲面 $\Sigma$ 所围闭区域记为 $\Omega$. 需要注意的是 $\Omega$ 中是否含有原点. 若含有原点, 则由于被积函数 $P,Q,R$(见下面)在原点处无定义而不能使用Gauss公式(即散度定理). 此时如果曲面不是容易计算的球面, 则在 $\Omega$ 中挖去半径较小的开球 $B_{\varepsilon}(0)$,  然后利用 Gauss 公式将 $\Sigma$ 上的积分转换到 $\Sigma_{\varepsilon}=\partial B_{\varepsilon}(0)$ 上.

记

\[
P(x)=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\quad Q(x)=\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\quad R(x)=\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.
\]

若记 $r=r(x,y,z)$ 为点 $(x,y,z)$ 到原点的距离, 则 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $r'_x=\frac{x}{r}$, $r'_y=\frac{y}{r}$, $r'_z=\frac{z}{r}$, 并且

\[
P(x,y,z)=\frac{x}{r^{\frac{3}{2}}},\quad Q(x,y,z)=\frac{y}{r^{\frac{3}{2}}},\quad R(x,y,z)=\frac{z}{r^{\frac{3}{2}}}.
\]

于是

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial P}{\partial x}&=\frac{1\cdot r^{3/2}-x\cdot\frac{3}{2}r^{\frac{1}{2}}\cdot r'_x}{r^3}=\frac{r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x\sqrt{r}\cdot\frac{x}{r}}{r^3}=\frac{r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\frac{x^2}{\sqrt{r}}}{r^3},\\
\frac{\partial Q}{\partial y}&=\frac{1\cdot r^{3/2}-y\cdot\frac{3}{2}r^{\frac{1}{2}}\cdot r'_y}{r^3}=\frac{r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}y\sqrt{r}\cdot\frac{y}{r}}{r^3}=\frac{r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\frac{y^2}{\sqrt{r}}}{r^3},\\
\frac{\partial R}{\partial z}&=\frac{1\cdot r^{3/2}-z\cdot\frac{3}{2}r^{\frac{1}{2}}\cdot r'_z}{r^3}=\frac{r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}z\sqrt{r}\cdot\frac{z}{r}}{r^3}=\frac{r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\frac{z^2}{\sqrt{r}}}{r^3}.
\end{aligned}
\]

三者相加

\[
\begin{split}
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}&=\frac{1}{r^3}\Bigl[3r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}(x^2+y^2+z^2)\Bigr]=\frac{1}{r^3}\Bigl[3r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}\cdot r^2\Bigr]\\
&=\frac{1}{r^3}\Bigl[3r^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}r^{\frac{3}{2}}\Bigr]=\frac{3}{2}r^{-\frac{3}{2}}.
\end{split}
\]

(1)  [分析] 记 $\Omega$ 为 $\Sigma$ 所围的闭球体. 记

\[
P(x,y,z)=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\quad Q(x,y,z)=\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\quad R(x,y,z)=\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},
\]

注意此时不能使用 Gauss 定理. 因为 $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$ 和 $R(x,y,z)$ 在原点无定义, 不满足可微条件.

正确的做法.

将 $\Sigma$ 分成两部分,  上半闭球面$\Sigma_1$ 和下半闭球面$\Sigma_2$. 即 $\Sigma=\Sigma_1\cup\Sigma_2$, $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 的交为赤道. 两半球面均取外侧. 它们在 $xy$ 平面上的投影为中心在原点半径为 $R$ 的闭圆盘, 记为 $D$.

曲面 $\Sigma$ 上任一点 $(x,y,z)$ 处的单位法向量为

\[
\vec{n}=\frac{1}{R}(x,y,z)=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma).
\]

记 $\vec{A}=(P,Q,R)$, $\mathrm{d}\vec{S}=(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$, 则

\[
\begin{split}
&\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\
=&\iint_{\Sigma}(P,Q,R)\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\vec{b}\mathrm{d}S\\
&=\iint_{\Sigma}\frac{1}{R}\Bigl[P(x,y,z)x+Q(x,y,z)y+R(x,y,z)z\Bigr]\mathrm{d}S\\
&=\frac{1}{R}\iint_{\Sigma}\Bigl[\frac{x}{R^3}\cdot x+\frac{y}{R^3}\cdot y+\frac{z}{R^3}\cdot z\Bigr]\mathrm{d}S\\
&=\frac{1}{R^4}\iint_{\Sigma}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)\mathrm{d}S\\
&=\frac{1}{R^4}\iint_{\Sigma}R^2\mathrm{d}S=\frac{1}{R^2}\iint_{\Sigma}\mathrm{d}S\\
&=\frac{1}{R^2}\cdot\text{Area}(\Sigma)=\frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2=4\pi.
\end{split}
\]