问题及解答

可数个第二可数空间的并仍是第二可数的.

设 $\langle X_i,\tau_i\rangle$ ($i=1,2,\ldots$) 是可数个拓扑空间, 并且均是第二可数的, 即都存在可数拓扑基 $\mathcal{B}_i$.

令

\[X=\bigcup_{i=1}^{+\infty}X_i,\]

$X$ 上的拓扑由 $\{\tau_i\}_{i=1}^{+\infty}$ 生成. 即开集的任意并仍令为开集, 开集的任意有限交也为开集. 所得的集合族(记为 $\tau$)成为 $X$ 的拓扑, 使得限制到 $X_i$ 上的子空间拓扑仍为 $\tau_i$.

用类似的方法构造 $X$ 的拓扑基, 将 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\ldots$ 中任意有限个成员的交构成一个集族, 记为 $\mathcal{B}$, 容易证明 $\mathcal{B}$ 是 $\langle X,\tau\rangle$ 的一个基.

下面证明这个拓扑基是可数的.

设

\[
\begin{split}
\mathcal{B}_1&=\{B_{11},B_{12},\ldots,B_{1n},\ldots\}\\
\mathcal{B}_2&=\{B_{21},B_{22},\ldots,B_{2n},\ldots\}\\
\vdots&\qquad \vdots\\
\mathcal{B}_m&=\{B_{m1},B_{m2},\ldots,B_{mn},\ldots\}\\
\vdots&\qquad \vdots\\
\end{split}
\]

要考虑有限个不同基中元素的交集的全体 $\mathcal{B}$ 是否仍是可数的.

不妨将它们重新排成一列, 记为

\[B_1,B_2,B_3,\ldots\]

则 $\mathcal{B}$ 中成员的个数不会超过上面 $\{B_1,B_2,B_3,\ldots\}$ 由其中任意有限交得到的集族的基数, 而后者是可数的. 详见问题745.