在 $\mathbb{R}P^3$ 中定义关系:
\[P\sim Q\Leftrightarrow P=Q\ \text{或者}\ P=[x_1,x_2,x_3,x_4], Q=[-x_2,x_1,-x_4,x_3]\]
证明这是一个等价关系. 若设 $X=\mathbb{R}P^3/\sim$, 求 $\pi_1(X)$.
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这个关系满足:
(1) 自反性. $P\sim P$;
(2) 对称性. 设 $P\sim Q$, 则 $P,Q$ 形如 $[x_1,x_2,x_3,x_4]$, $[-x_2,x_1,-x_4,x_3]$, 显然 $Q\sim P$.因为
\[[-x_2,x_1,-x_4,x_3]\sim[-x_1,-x_2,-x_3,-x_4]=[x_1,x_2,x_3,x_4].\]
(3) 传递性. 设 $P\sim Q$, $Q\sim S$, 则可设
\[P=[x_1,x_2,x_3,x_4], Q=[-x_2,x_1,-x_4,x_3],\]
于是 $S=[-x_1,-x_2,-x_3,-x_4]=P$, 即 $P\sim S$.
因此 $\sim$ 是一个等价关系. 并且映射
\[p:\ \mathbb{R}P^3\rightarrow X\]
是一个叶数为 2 的复叠映射. 这是因为 $P\mapsto Q$ 是单射. (事实上, 若 $[-x_2,x_1,-x_4,x_3]=[-y_2,y_1,-y_4,y_3]$, 则存在 $\lambda\neq 0$, 使得 $y_i=\lambda x_i$, $i=1,2,3,4$. 从而 $[x_1,x_2,x_3,x_4]=[y_1,y_2,y_3,y_4]$.)
由于
\[p_\pi:\ \pi_1(\mathbb{R}P^3)\rightarrow\pi_1(X)\]
是单同态, 并且 $H_e:=p_\pi(\pi_1(\mathbb{R}P^3))$ 在 $\pi_1(X)$ 中的指数 $[\pi_1(X):H_e]$ 等于复叠映射 $p_\pi$ 的叶数 2.
而 $\pi_1(\mathbb{R}P^3)\cong\mathbf{Z}_2$ (见问题811), 因此, $\pi_1(X)$ 是含有四个元素的群.
而含有 4 个元素的群同构于 $\mathbf{Z}_4$ 或 $\mathbf{Z}_2\times\mathbf{Z}_2$. 前者是循环群, 后者不是循环群. 后者有两个生成元, 即
\[\mathbf{Z}_2\times\mathbf{Z}_2\cong\{e,a,b,ab\}\]
其中 $a,b$ 是二阶元.
我们证明: $\pi_1(X)\cong\mathbf{Z}_2\times\mathbf{Z}_2$.
可以从生成元的角度说明 $\pi_1(X)\cong\mathbf{Z}_2\times\mathbf{Z}_2$. 我们可以这样来想象, $\pi_1(\mathbb{R}P^3)\cong\mathbf{Z}_2$, 故 $\mathbb{R}P^3$ 中有一条非零伦的回路 $\ell$, 现在在等价关系下, 这条回路变成
$[x_1,x_2,x_3,x_4]$ 在 $S^3$ 中的点 $\pm(x_1,x_2,x_3,x_4)$.
$[-x_2,x_1,-x_4,x_3]$ 在 $S^3$ 中的点 $\pm(-x_2,x_1,-x_4,x_3)$. $(-x_2,x_1)$ 由 $(x_1,x_2)$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 得到. $(-x_4,x_3)$ 由 $(x_3,x_4)$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 得到. 也就是说 $S^3$