在 $\mathbb{R}P^3$ 中将点按 $[x_1,x_2,x_3,x_4]\sim[-x_2,x_1,-x_4,x_3]$ 的方式粘合. 求商空间 $\mathbb{R}P^3/\sim$ 的基本群.
在 $\mathbb{R}P^3$ 中定义关系:
\[P\sim Q\Leftrightarrow P=Q\ \text{或者}\ P=[x_1,x_2,x_3,x_4], Q=[-x_2,x_1,-x_4,x_3]\]
证明这是一个等价关系. 若设 $X=\mathbb{R}P^3/\sim$, 求 $\pi_1(X)$.