[Lem] 设 $U$, $V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, 并且 $X$ 和 $U\cap V$ 都道路连通, 则 $U$ 和 $V$ 也是道路连通的.

[Lem] 设 $U,V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, $a$ 是 $X$ 中的一条道路, $a$ 的两个端点分别在 $U$, $V$ 中, 则 $a^{-1}(U\cap V)\ne \mathrm{\varnothing }$.

${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$,

${\pi }_1(S^n)=0$, 对于 $n⩾2$.

求亏格为2的黎曼面的基本群

Def. 拓扑空间 $X$ 中的自由同伦回路所在的类 $\alpha$ 称为是“外围的“(peripheral), 如果对于 $X$ 中的任意紧子集 $R$, 都存在 $\alpha$ 类中的一个回路, 与 $R$ 不相交.

Reference:

[1] S. V. Buyalo, Euclidean planes in open 3-manifolds of nonpositive curvature, Algebra i Analiz 3 (1991), no.1, 102-117; English transl. in St.-Petersburg Math. J. 3 (1992).

[2] S. V. Buyalo, Three-manifolds with Cr-structure, Some questions of differential geometry in the large, Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 176, 1996

${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^n)={\mathbf{Z}}_2$, $n⩾2$.

在 $\mathbb{R}{P}^3$ 中定义关系:

$$P\sim Q\iff P=Q\text{或者}P=[x_1,x_2,x_3,x_4],Q=[-x_2,x_1,-x_4,x_3]$$

证明这是一个等价关系. 若设 $X=\mathbb{R}{P}^3/\sim$, 求 ${\pi }_1(X)$.