Questions in category: 基本群 (Fundamental Group)
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1. [Lem] 设 $U$, $V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, 并且 $X$ 和 $U\cap V$ 都道路连通, 则 $U$ 和 $V$ 也是道路连通的.

Posted by haifeng on 2019-10-21 13:45:06 last update 2019-10-21 13:45:06 | Answers (1) | 收藏


[Lem] 设 $U$, $V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, 并且 $X$ 和 $U\cap V$ 都道路连通, 则 $U$ 和 $V$ 也是道路连通的.

2. [Lem] 设 $U,V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, $a$ 是 $X$ 中的一条道路, $a$ 的两个端点分别在 $U$, $V$ 中, 则 $a^{-1}(U\cap V)\neq\emptyset$.

Posted by haifeng on 2019-10-21 13:35:29 last update 2019-10-21 13:35:29 | Answers (1) | 收藏


[Lem] 设 $U,V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, $a$ 是 $X$ 中的一条道路, $a$ 的两个端点分别在 $U$, $V$ 中, 则 $a^{-1}(U\cap V)\neq\emptyset$.

3. 求 $\pi_1(S^n)$

Posted by haifeng on 2015-07-19 13:17:18 last update 2015-07-19 13:17:18 | Answers (0) | 收藏


$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$,

$\pi_1(S^n)=0$, 对于 $n\geqslant 2$.

4. 求亏格为2的黎曼面的基本群

Posted by haifeng on 2014-03-22 17:18:50 last update 2014-03-22 17:18:50 | Answers (0) | 收藏


求亏格为2的黎曼面的基本群

5. [Def]peripheral homotopy class

Posted by haifeng on 2013-03-01 15:25:39 last update 2013-03-01 15:30:24 | Answers (0) | 收藏


Def. 拓扑空间 $X$ 中的自由同伦回路所在的类 $\alpha$ 称为是“外围的“(peripheral), 如果对于 $X$ 中的任意紧子集 $R$, 都存在 $\alpha$ 类中的一个回路, 与 $R$ 不相交.


Reference:

[1] S. V. Buyalo, Euclidean planes in open 3-manifolds of nonpositive curvature, Algebra i Analiz 3 (1991), no.1, 102-117; English transl. in St.-Petersburg Math. J. 3 (1992).

[2] S. V. Buyalo, Three-manifolds with Cr-structure, Some questions of differential geometry in the large, Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 176, 1996

6. $\pi_1(\mathbb{R}P^n)=\mathbf{Z}_2$, $n\geqslant 2$.

Posted by haifeng on 2012-07-20 15:22:53 last update 2012-07-20 15:22:53 | Answers (1) | 收藏


$\pi_1(\mathbb{R}P^n)=\mathbf{Z}_2$, $n\geqslant 2$.

7. 在 $\mathbb{R}P^3$ 中将点按 $[x_1,x_2,x_3,x_4]\sim[-x_2,x_1,-x_4,x_3]$ 的方式粘合. 求商空间 $\mathbb{R}P^3/\sim$ 的基本群.

Posted by haifeng on 2012-07-20 15:09:35 last update 2012-07-20 15:20:19 | Answers (1) | 收藏


在 $\mathbb{R}P^3$ 中定义关系:

\[P\sim Q\Leftrightarrow P=Q\ \text{或者}\ P=[x_1,x_2,x_3,x_4], Q=[-x_2,x_1,-x_4,x_3]\]

证明这是一个等价关系. 若设 $X=\mathbb{R}P^3/\sim$, 求 $\pi_1(X)$.