Questions in category: 代数拓扑 (Algebraic Topology)
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1. 构建开球 $\mathrm{int}(D^n)$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的同胚映射.

Posted by haifeng on 2022-01-24 15:47:00 last update 2022-01-25 21:26:35 | Answers (1) | 收藏


构建开球 $\mathrm{int}(D^n)$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的同胚映射.

这里 $D^n=\{x\in\mathbb{R}^n\mid |x|\leqslant 1\}$, $\mathrm{int}(D^n)$ 是 $D^n$ 的内部. 有时也记

\[
B^n=\{x\in\mathbb{R}^n\mid |x| < 1\},
\]

即 $B^n=\mathrm{int}(D^n)$, 而 $\bar{B}^n=D^n$.

 

[Hint] 利用 $y=\tan x$, $x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, 可以构建 $(-1,1)$ 到 $\mathbb{R}$ 的同胚映射:

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ (-1,1)&\rightarrow&\mathbb{R}\\
x&\mapsto&\tan(\frac{\pi}{2}x)
\end{array}
\]

2. CW 复形(CW complex)

Posted by haifeng on 2022-01-19 19:34:33 last update 2022-01-19 19:35:50 | Answers (0) | 收藏


CW 复形(CW complex)

设 $X$ 为拓扑空间. 集合 $A\subset X$ 如果称为 $X$ 的子空间, 则要求 $A$ 具有诱导拓扑(或相对拓扑, 即 $U$ 是 $A$ 中的开集, 如果存在 $V\in\tau_{X}$, 使得 $U=V\cap A$.)

$\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n,d)$ 是 $n$ 维欧氏空间, 当然是度量空间, 从而也是拓扑空间. $\mathbb{E}^n$ 中的一个 $n$-维(闭)球是指

\[
D^n=\{x\in\mathbb{E}^n\mid |x|\leqslant 1\}
\]

 

 


References:

Soren Hansen,  CW complexes.

3. The Eckmann–Hilton argument

Posted by haifeng on 2017-03-04 15:16:43 last update 2017-03-04 15:16:43 | Answers (0) | 收藏


The Eckmann–Hilton argument

 

https://ncatlab.org/nlab/show/Eckmann-Hilton+argument

4. [吴文俊] $S^{4k}$ 不是近复流形.

Posted by haifeng on 2016-11-03 22:58:20 last update 2016-11-03 22:58:20 | Answers (0) | 收藏


[吴文俊] $S^{4k}$ 不是近复流形.

证明: 利用示性类.

 

利用同伦论的 Steenrod 平方运算, Borel-Serre 证明了:  $S^{2n}$, $n>0, n\neq 3$ 不是近复流形.

 

References:

S. S. Chern 93岁时的演讲

https://www.zhihu.com/question/52146571

 

5. 利用拓扑 K 理论证明: 若 $n > 3$, 则 $S^{2n}$ 上不存在近复结构.

Posted by haifeng on 2016-11-03 22:49:52 last update 2016-11-03 22:49:52 | Answers (0) | 收藏


利用拓扑 K 理论证明: 若 $n > 3$, 则 $S^{2n}$ 上不存在近复结构.

6. 证明: $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚仅当 $n=m$.

Posted by haifeng on 2015-07-19 12:04:16 last update 2015-07-19 12:04:16 | Answers (1) | 收藏


证明: $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚仅当 $n=m$.

类似的, 当 $n\neq m$ 时, $S^n$ 与 $S^m$ 也不同胚.