一个 $n$ 维单形($n$-simplex)具有多少个 $k$ 维面?  这里 $k=1$ 时即指边.

这个问题来自于 [1] Exercise of Chapter 1.

6. How many faces does an $n$-simplex have? Prove that your answer is correct.

References:

[1] Fred H. Croom,  Basic Concepts of Algebraic Topology.

证明: $H_2(\mathbb{C}P^2,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$.

多面体是单纯同调群所赖以定义的空间.

集合 $C$ 是一个多面体, 如果它是有限多个闭半平面的交.  

也可以这样定义:

多面体乃是用一些诸如线段、三角形、四面体以及它们的高维类似物作为“砖块”并将这些“砖块”沿表面“粘合”起来构筑而成的空间.

设 $f: M\rightarrow N$ 是两个同维数的紧致可定向流形之间的连续映射, $f$ 的映射度 $\deg(f)$ 为定义域流形环绕值域流形的次数.

所谓“定义域流形环绕值域流形的次数”可以从 $f$ 所诱导的同调群映射来理解. 

$f$ 诱导了映射 $f_*: H_n(S^n)\rightarrow H_n(S^n)$, 这里 $H_n(\cdot)$ 指第 $n$ 个同调群. 而我们知道 $H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$, 因此 $f_*: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ 只能将 $x$ 映射 $\alpha x$, 可以证明这里 $\alpha$ 是个固定的整数, 也就是和基本类无关. 这个整数 $\alpha$ 被称为 $f$ 的映射度, 记为 $\deg(f)$.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_of_a_continuous_mapping