问题及解答

设 $f: M\rightarrow N$ 是两个同维数的紧致可定向流形之间的连续映射, $f$ 的映射度 $\deg(f)$ 为定义域流形环绕值域流形的次数.

所谓“定义域流形环绕值域流形的次数”可以从 $f$ 所诱导的同调群映射来理解. 

$f$ 诱导了映射 $f_*: H_n(S^n)\rightarrow H_n(S^n)$, 这里 $H_n(\cdot)$ 指第 $n$ 个同调群. 而我们知道 $H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$, 因此 $f_*: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ 只能将 $x$ 映射 $\alpha x$, 可以证明这里 $\alpha$ 是个固定的整数, 也就是和基本类无关. 这个整数 $\alpha$ 被称为 $f$ 的映射度, 记为 $\deg(f)$.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_of_a_continuous_mapping