Quantum Field Theory And The Jones Polynomial

E. Witten

Commun. Math. Phys. 121 (1989) 351--399.

摘要

证明了, 对于具有纯粹由 Chern-Simons 项组成的作用的 2+1 维量子 Yang-Mills 理论, 恰好是可解的, 并且为理解三维项中纽结理论的 Jones 多项式给出了一个框架. 在此情形, Jones 多项式可从 $S^3$ 推广到任意三维流形, 只要三维流形的不变量从手术呈现来说是可计算的. 这些结果为 1+1维中的共形场论(conformal field theory)带来了一缕令人惊奇的曙光.

Knot theory

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/knots/index.htm

http://www.cppblog.com/Felicia/archive/2011/02/27/33037.html

Fivebranes and Knots

Edward Witten

arxiv:1101.3216v2

三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ (或三维球面 $S^3$) 中纽结 $K$ 的 Jones 多项式是指一个含单变量 $q$ 的 Laurent 多项式 $\mathcal{J}(q; K)$. 这个多项式中的系数均为整数.

Jones 多项式以及它的许多推广(仍是整系数的 Laurent 多项式)可以用不同方式从2维数学物理中构造. 主要包括 lattice statistical mechanics, Yang-Baxter 方程, conformal field theory, 以及辫子群表示(braid group representations). 这些构造对于计算纽结多项式, 展示它们的拓扑不变性以及证明它们实际上是整系数的 Laurent 多项式是非常有效的.

然而, 这种构造并没有使得 Jones 多项式的三维对称性更显而易见. 为此, 具有 Chern-Simons 作用[9-11]的三维量子 gauge 理论被证实是有用的. 三维流形 $W$ 上的关于某个 gauge 理论(gauge 群为 $G$, gauge field 为 $A$)的 Chern-Simons 作用可被写为

\[
I=\frac{k}{4\pi}\int_W\text{Tr}\biggl(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\biggr),
\]

这里 $k$ 是拓扑相关的一个整数; 在选择一个合适的定向之下, 可以取 $k$ 为正整数. 在这个理论中, 对于可定向嵌入的圈 $K\subset W$ 和 $G$ 的表示 $R$, 我们可以关联一个可观测变量, holonomy 或 Wilson loop operator 的 trace:

\[
\mathcal{W}(K,R)=\text{Tr}_R P\exp\oint_K A.
\]

反转 $K$ 的定向与将 $R$ 换成它的复共轭, 效果是相同的. [12] 中

Edward Witten 写了一篇关于纽结和链环(knots and links)的 Khovanov 同调与 Gauge 理论的文章

http://arxiv.org/abs/1108.3103v1

Khovanov Homology and Gauge Theory

Edward Witten

School of Natural Sciences, Institute for Advanced Study

Einstein Drive, Princeton, NJ 08540 USA

摘要

在这些笔记中, 我将描述一个获得关于纽结和链环(knots and links)的 Khovanov 同调的新方法, 这是基于对4维和5维空间中某些椭圆偏微分方程的解计算个数的. 这些方程定义在4维或5维的带边黎曼流形上，并带有一个相当精细的边界条件，是用于刻画纽结和链环的. 这个构造形式上类似于三维和四维时的 Floer 理论和 Donaldson 理论. 这个 Khovanov 同调是利用量子场理论的论述发现的, 但可以完全借助于经典的Gauge理论来描述和理解.

1. 介绍

这些讲义的目的是指出四维和五维中的椭圆微分方程是如何用于对 Jones 多项式和 Khovanov 同调新的解释的. 我的灵感来自于先前关于 Khovanov 同调的一个基于物理的方法 [1]. 我寻求另一种使用Gauge理论的构造方法.

我们这里的陈述将非常简短, 略去所有“为什么”的问题. 换句话说, 我们将解释四维和五维 gauge 理论中什么样的构造是被期望用于重构 Jones 多项式及 Khovanov 同调的, 但不解释这个答案是如何来源自量子场和弦论的. 对于这些问题, 以及相关工作的更多的细节和广泛的参考文献, 我们参考 [2]. 参考文献也包含了许多关于“是什么”的问题, 这里我们的解释是相当扼要的.

如果不依赖量子场论的论述, 是否可以直接从 gauge 理论推出关于 Jones 多项式或 Khovanov 同调的一个已知构造? 对于 Jones 多项式, 这个做法的一个策略已经在 [3] 中被勾勒, 在这些讲义的末尾我们将总结其中的一些思想. 尚没有关于 Khovanov 同调的类似的计算.

2. Gradient Flow of Complex Chern-Simons

我们从三维情形的 Chern-Simon 函数与四维情形的 instanton 方程之间存在的联系开始. 在这个报告中, $G$ 是一紧致单李群, $A$ 是 $G$-丛 $E\rightarrow W$ 上的一个联络, 这里 $W$ 是某个流形. 我们写 $G_{\mathbb{C}}$ 为 $G$ 的复化, $\mathcal{A}$ 是 $G_{\mathbb{C}}$-丛(比如 $E$ 的复化 $E_{\mathbb{C}}$)上的一个联络. 我们写 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{U}_{\mathbb{C}}$ 分别表示丛 $E$ 和 $E_{\mathbb{C}}$)上的联络空间. 最后, 所谓的椭圆方程, 我们是指方程在模掉 gauge 群的作用后是椭圆的.

设 $W$ 是一 3 维流形, 则 $G$-丛 $E\rightarrow W$ 上的联络 $A$ 具有 Chern-Simons 不变量
\[
\text{CS}(A)=\frac{1}{4\pi}\int_W\text{Tr}\biggl(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\biggr).
\]

References:

S. Gukov, A. S. Schwarz, and C. Vafa, “Khovanov-Rozansky Homology And Topological
Strings,” Lett. Math. Phys. 74 (2005) 53-74, hep-th/0412243.