关于纽结和链环(knots and links)的 Khovanov 同调与Gauge理论
Edward Witten 写了一篇关于纽结和链环(knots and links)的 Khovanov 同调与 Gauge 理论的文章
http://arxiv.org/abs/1108.3103v1
Khovanov Homology and Gauge Theory
Edward Witten
School of Natural Sciences, Institute for Advanced Study
Einstein Drive, Princeton, NJ 08540 USA
摘要
在这些笔记中, 我将描述一个获得关于纽结和链环(knots and links)的 Khovanov 同调的新方法, 这是基于对4维和5维空间中某些椭圆偏微分方程的解计算个数的. 这些方程定义在4维或5维的带边黎曼流形上，并带有一个相当精细的边界条件，是用于刻画纽结和链环的. 这个构造形式上类似于三维和四维时的 Floer 理论和 Donaldson 理论. 这个 Khovanov 同调是利用量子场理论的论述发现的, 但可以完全借助于经典的Gauge理论来描述和理解.
1. 介绍
这些讲义的目的是指出四维和五维中的椭圆微分方程是如何用于对 Jones 多项式和 Khovanov 同调新的解释的. 我的灵感来自于先前关于 Khovanov 同调的一个基于物理的方法 [1]. 我寻求另一种使用Gauge理论的构造方法.
我们这里的陈述将非常简短, 略去所有“为什么”的问题. 换句话说, 我们将解释四维和五维 gauge 理论中什么样的构造是被期望用于重构 Jones 多项式及 Khovanov 同调的, 但不解释这个答案是如何来源自量子场和弦论的. 对于这些问题, 以及相关工作的更多的细节和广泛的参考文献, 我们参考 [2]. 参考文献也包含了许多关于“是什么”的问题, 这里我们的解释是相当扼要的.
如果不依赖量子场论的论述, 是否可以直接从 gauge 理论推出关于 Jones 多项式或 Khovanov 同调的一个已知构造? 对于 Jones 多项式, 这个做法的一个策略已经在 [3] 中被勾勒, 在这些讲义的末尾我们将总结其中的一些思想. 尚没有关于 Khovanov 同调的类似的计算.
2. Gradient Flow of Complex Chern-Simons
我们从三维情形的 Chern-Simon 函数与四维情形的 instanton 方程之间存在的联系开始. 在这个报告中, $G$ 是一紧致单李群, $A$ 是 $G$-丛 $E\rightarrow W$ 上的一个联络, 这里 $W$ 是某个流形. 我们写 $G_{\mathbb{C}}$ 为 $G$ 的复化, $\mathcal{A}$ 是 $G_{\mathbb{C}}$-丛(比如 $E$ 的复化 $E_{\mathbb{C}}$)上的一个联络. 我们写 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{U}_{\mathbb{C}}$ 分别表示丛 $E$ 和 $E_{\mathbb{C}}$)上的联络空间. 最后, 所谓的椭圆方程, 我们是指方程在模掉 gauge 群的作用后是椭圆的.
设 $W$ 是一 3 维流形, 则 $G$-丛 $E\rightarrow W$ 上的联络 $A$ 具有 Chern-Simons 不变量
\[
\text{CS}(A)=\frac{1}{4\pi}\int_W\text{Tr}\biggl(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\biggr).
\]
References:
S. Gukov, A. S. Schwarz, and C. Vafa, “Khovanov-Rozansky Homology And Topological
Strings,” Lett. Math. Phys. 74 (2005) 53-74, hep-th/0412243.