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问题及解答

[Lem] 设 $U,V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, $a$ 是 $X$ 中的一条道路, $a$ 的两个端点分别在 $U$, $V$ 中, 则 $a^{-1}(U\cap V)\neq\emptyset$.

Posted by haifeng on 2019-10-21 13:35:29 last update 2019-10-21 13:35:29 | Edit | Answers (1)

[Lem] 设 $U,V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, $a$ 是 $X$ 中的一条道路, $a$ 的两个端点分别在 $U$, $V$ 中, 则 $a^{-1}(U\cap V)\neq\emptyset$.

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Posted by haifeng on 2019-10-21 13:40:19

因为 $a: I\rightarrow X$ 是 $X$ 中的道路, 所以连续. 而 $U$, $V$ 是 $X$ 中的开集, 故 $a^{-1}(U)$, $a^{-1}(V)$ 是 $I$ 中的非空开集.

注意 $a$ 的两个端点分别在 $U$, $V$ 中, 且 $a^{-1}(U)\cup a^{-1}(V)=I$. 由于 $I$ 连通, 故 $a^{-1}(U)\cap a^{-1}(V)\neq\emptyset$. 这推出 $a^{-1}(U\cap V)\neq\emptyset$.

Note: $a^{-1}(U\cap V)=a^{-1}(U)\cap a^{-1}(V)$.