求特殊酉群 $SU(n)$ 的李代数 $\mathfrak{su}(n)$.
特殊酉群 $SU(n)$ 是由行列式为 1 的所有酉矩阵构成的, 它是酉群 $U(n)$ 的一个子群. 求 $SU(n)$ 的李代数.
如
\[\mathfrak{su}(2)=\biggl\{
\begin{pmatrix}ia & b+ic\\ -b+ic & -ia\end{pmatrix}\ :\ a,b,c\in\mathbb{R}
\biggr\}\]
且映射 $\varphi:\ \mathfrak{su}(2)\rightarrow\mathbb{R}^3$
\[
\begin{pmatrix}ia & b+ic\\ -b+ic & -ia\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}
\]
满足
\[\varphi([A,A\'])=2\varphi(A)\times\varphi(A\').\]
从而推出 $\mathfrak{su}(2)$ 也同构于 $(\mathbb{R}^3,\times)$.