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问题及解答

设 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r\in V^*=\Lambda^1(V)$. 证明 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ 线性相关当且仅当 $\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_r=0$.

Posted by haifeng on 2012-07-26 09:30:40 last update 2012-07-26 09:34:26 | Edit | Answers (1)

设 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r\in V^*=\Lambda^1(V)$. 证明 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ 线性相关当且仅当

\[\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_r=0.\]


与之对偶的结论是:

矢量 $v_1,\ldots,v_r\in V$ 线性相关的充要条件是

\[v_1\wedge\cdots\wedge v_r=0.\]

(参见 [1,pp.59])


References:

[1] 陈省身、陈维桓 著 《微分几何讲义》第二版, 北京大学出版社, 2001.

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Posted by haifeng on 2014-04-13 08:25:03

这里只证明第一个问题, 两者是同构的.


若 $\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_r$ 线性相关, 不妨设 $\varphi_r$ 可以表成 $\varphi_1,\ldots,\varphi_{r-1}$ 的线性组合:

\[
\varphi_r=a_1\varphi_1+\cdots+a_{r-1}\varphi_{r-1},
\]

因此,

\[
\begin{split}
&\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_{r-1}\wedge\varphi_r\\
=&\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_{r-1}\wedge(a_1\varphi_1+\cdots+a_{r-1}\varphi_{r-1})\\
=&0.
\end{split}
\]

若 $\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_r$ 线性无关, 则可将它们扩充成 $V^*$ 的一个基底 $\{\varphi_1,\ldots,\varphi_r,\varphi_{r+1},\ldots,\varphi_n\}$. 因为

\[
\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_{r-1}\wedge\varphi_r\wedge\varphi_{r+1}\wedge\cdots\wedge\varphi_n\neq 0,
\]

所以

\[
\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_r\neq 0.
\]