设 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r\in V^*=\Lambda^1(V)$. 证明 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ 线性相关当且仅当 $\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_r=0$.
设 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r\in V^*=\Lambda^1(V)$. 证明 $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ 线性相关当且仅当
\[\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_r=0.\]
与之对偶的结论是:
矢量 $v_1,\ldots,v_r\in V$ 线性相关的充要条件是
\[v_1\wedge\cdots\wedge v_r=0.\]
(参见 [1,pp.59])
References:
[1] 陈省身、陈维桓 著 《微分几何讲义》第二版, 北京大学出版社, 2001.