问题及解答

设 $(M,\omega)$ 是 $2n$ 维闭的辛流形, $\omega$ 是辛形式, 从而代表了 $H_{\mathrm{dR}}^2(M)$ 中的元素 $[\omega]$. 证明 $[\omega]\neq 0$.

Hint. 这可从问题900 直接推出.

$\omega$ 是闭的非退化 2-形式. 即 $d\omega=0$, 且 $\omega^n >0$. $\frac{\omega^n}{n!}$ 是 $M$ 上的体积形式.

若 $[\omega]=0$, 则存在 $\gamma\in\Omega^1(M)$, 使得 $\omega=dr$.

\[\omega^n=(dr)^n=dr\omega^{n-1}=d(r\omega^{n-1})\]

因此

\[\int_{M} \omega^n=\int_{M}d(r\omega^{n-1})=\int_{\partial M}r\omega^{n-1}=0\]

矛盾. 因此 $[\omega]\neq 0$.