11 选 5 的中奖概率
从 1,2,3,...,11 这十一个数中开出 5 个号码作为中奖号码.
任选 7 个号码, 猜中开奖的全部 5 个号码. 求中奖的概率多大?
分析:
如果每注只能任选 5 个号码, 那么显然中奖概率为 $1/C_{11}^{5}=1/462$.
现在每注是选 7 个号码, 因此有 $C_{11}^{7}=C_{11}^{4}=330$ 种可能.
购买一注, 也就是 7 个号码, 它包含了 $C_7^2=21$ 种 5 个号码的可能, 中奖概率为 $\frac{21}{462}=\frac{1}{22}$.
反过来思考, 比如开奖号码是 1,2,3,4,5. 那么可以中奖的集合为
\[
A=\bigl\{(1,2,3,4,5,x,y)\mid x,y\in\{6,7,8,9,10,11\}\bigr\}.
\]
因此 $\# A=C_6^2=15$, 即 330 种可能中只有 15 个能中奖, 中奖概率为 $\frac{15}{330}=\frac{1}{22}$.
如果选 $k$ 个号码, 那么中奖概率为
\[
p(k)=\frac{C_{6}^{k-5}}{C_{11}^{k}}.
\]
比如
\[
p(7)=\frac{1}{22},\quad p(8)=\frac{4}{33},\quad p(9)=\frac{3}{11},\quad p(10)=\frac{6}{11},\quad p(11)=1.
\]
总结:
中奖概率非常小.
类似的可以考虑 双色球的中奖概率.