写出 $\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}$ 的实部和虚部
令 $z=re^{i\theta}$, 写出 $\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}$ 的实部和虚部
\[
\mathrm{Re}(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z})=\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-t)+r^2},
\]
\[
\mathrm{Im}(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z})=\frac{2r\sin(\theta-t)}{1-2r\cos(\theta-t)+r^2}.
\]
若令 $r\in[0,1)$, 则 $\mathrm{Re}(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}) > 0$. 我们记 $P_r(\theta-t)=\mathrm{Re}(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z})$.
References:
W. Rudin, 《实分析和复分析》