问题

$\vartheta(x)$ 和 $\psi(x)$ 定义为

\[\vartheta(x)=\sum_{p\leqslant x}\ln p=\ln\prod_{p\leqslant x}p\]

\[\psi(x)=\sum_{p^m\leqslant x}\ln p=\sum_{n\leqslant x}\Lambda(n)\]

其中 $\Lambda(n)$ 是 von Mangoldt 函数, 定义为

\[\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p, & n=p^m, m\geqslant 1\\ 0, & n\neq p^m,\end{cases}\]

则

(1) $\psi(x)=\vartheta(x)+O(x^{1/2}\log^2 x)$;

(2) $\psi(x)$ 和 $\vartheta(x)$ 均是 $x^1$ 阶的. 即存在 $A_1,A_2$, 使得

$A_1 x\leq\psi(x)\leq A_2 x$, $A_1 x\leq\vartheta(x)\leq A_2 x$.

黎曼假设(Riemann Hypothesis)[RH] 等价于

\[
\psi(x)=x+O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}).
\]

注:  可能美国的文献中将 $\ln x$ 写作 $\log x$, 即 $\log_{e}x$. 这里统一按国际标准.