$\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ 中的 Maxwell 方程组

变化的磁场能够产生涡旋电场, 变化的电场也可以产生磁场. 麦克斯韦(Maxwell)通过分析和研究, 提出位移电流的假设, 将电磁场的基本规律概括为一组完整的方程式(共20个方程, 20 个变量), 1890年, 德国物理学家赫兹 (Hertz, 1857-1894) 把这组方程写成了简化的对称形式, 它们由 4 个对称方程组成.

它们的积分形式是

\[
\begin{cases}
\oint_s\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q,\\
\oint_L\mathbf{E}\cdot d\ell=-\int_s\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S},\\
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0,\\
\oint_L\mathbf{B}\cdot d\ell=\mu_0\sum I+\mu_0\varepsilon_0\int_s\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.\\
\end{cases}
\]

对应的微分形式是

\[
\begin{cases}
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\\
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\\
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
\end{cases}
\]

References:

何克明 等编 《大学物理学》， 浙江大学出版社.

Remark: 从非交换规范群(non-abelian gauge group)的角度, Yang-Mills 方程是 Maxwell 方程的推广.