\[
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0 & \text{in}\ \mathbb{R}\times(0,\ell),\\
u_x(t,0)=u_x(t,\ell)=0 &\text{for}\ t\in\mathbb{R},\\
u(0,x)=u_0(x) &\text{for}\ x\in(0,\ell),\\
u_t(0,x)=u_1(x) &\text{for}\ x\in(0,\ell).
\end{cases}\tag{1.1}
\]

这里 $t$ 指时间, $x$ 是弦的横坐标. $\ell$ 是弦平直的时候的长度.

$u(0,x)=u_0(x)$ 是指初始时刻 $t=0$ 时, 弦的方程.

$u_t(0,x)=u_1(x)$ 是弦方程对 $t$ 求偏导在初始时刻的方程, 可以认为是初始速度方程.

第二个方程表示这里的弦在运动时, 两端端点只在垂直方向运动, 不会有横向偏移.

假设我们可以在某个时间段 $t\in[0,T]$ 观察弦左端点的振动. 我们是否可以识别未知的初始数据? 换句话说, 线性映射

\[
(u_0,u_1)\mapsto u(\cdot,0)|_{(0,T)}\tag{1.2}
\]

在某个合适的“自然”函数空间中是否是一对一的? 并且我们可否描述此映射及其逆映射(如果存在的话)的连续性?

通过使用傅里叶级数我们可以很容易的解决这个问题. 事实上, 为了公式的简单起见, 我们选择 $\ell=\pi$ 并引进 Hilbert 空间

\[
H:=\Bigl\{v\in L^2(0,\pi)\ :\ \int_0^{\pi}v(x)dx=0\Bigr\},\quad \|v\|_{H}:=\biggl(\int_{0}^{\pi}|v(x)|^2 dx\biggr)^{1/2},
\]

和

\[
V:=\Bigl\{v\in H^{1}(0,\pi)\ :\ \int_{0}^{\pi}v(x)dx=0\Bigr\},\quad \|v\|_{V}:=\biggl(\int_{0}^{\pi}|v'(x)|^2 dx\biggr)^{1/2}.
\]

这里 $H^1(0,\pi)$ 是 Sobolev 空间.

对于 (1.1), 引进初始解的能量

\[
E_0:=\frac{1}{2}(\|u_0\|_V^2+\|u_1\|_H^2),
\]

我们有下面的性质.

命题 1.1. 若 $T\geqslant 2\pi$, 则映射 (1.2) 是 $V\times H$ 到 $H^1(0,T)$ 的一个一一映射. 并且, 存在两个常数 $c_1,c_2 > 0$, 使得 (1.1) 的解满足下面的估计

\[
c_1 E_0\leqslant \int_0^T |u_t(t,0)|^2 dt\leqslant c_2 E_0,
\]

对所有的 $(u_0,u_1)\in V\times H$ 都成立.

Remark:

翻译自:

Vilmos Komornik, Paola Loreti, Fourier Series in Control Theory. Springer, 2005.