几何分布

若随机变量 $X$ 的概率分布为

\[
P\{X=k\}=pq^{k-1},\quad k=1,2,\ldots.
\]

其中 $q=1-p$, 则称 $X$ 服从几何分布, 记为 $X\sim $.

证明: $E(X)=\frac{1}{p}$.

例.  某试验在同一条件下独立重复进行, 直到成功两次为止. 设每次试验成功的概率为 $p$, 令 $X$ 为第一次成功之前失败的次数, $Y$ 为两次成功之间的失败次数, 求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律.

解. 记 $q=1-p$, 即每次试验失败的概率为 $q$. $P\{X=i\}$ 指第一次成功之前失败了 $i$ 次的概率, 即为 $pq^i$. 而 $P\{Y=j\}$ 指两次成功之间失败次数为 $j$ 的概率. 由于失败 $j$ 次之前是成功的, 后面必是成功的, 否则失败次数就大于 $j$ 了. 故概率为 $pq^{j}$.

于是, 

\[
p_{ij}=P\{X=i,Y=j\}=P\{X=i\}\cdot P\{Y=j\}=pq^i\cdot pq^j=p^2 q^{i+j},\quad i,j=0,1,2,\ldots
\]

此即 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律.