$X$ 是李群 $G$ 上的向量场, $f\in C^\infty(G)$, $Xf:G\rightarrow\mathbb{R}$ 定义为 $Xf(g):=X_g f$. 验证 $X$ 可作为求导运算的算子.
设 $X,Y$ 是李群 $G$ 上的向量场, $f,f_1,f_2\in C^\infty(G)$.
$Xf:\ G\rightarrow\mathbb{R}$ 定义为 $Xf(g):=X_g f$. 其中 $X_g f$ 表示函数 $f$ 在 $g$ 点对于切向量 $X_g$ 的方向导数. 即
\[X_g(f):=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\bigl(f(\theta_{\Delta t}(g))-f(g)\bigr),\]
(其中 $\theta$ 是单参数子群, 参见问题840.)
验证 $X$ 可作为求导运算的算子, 即满足“求导”性质:
\[X(f_1\cdot f_2)=(Xf_1)\cdot f_2+f_1(Xf_2).\tag{$*$}\]
反之, 任何满足上述性质的运算 $D$ 一定是关于某一个向量场的上述“求导”运算. 即: 设 $D$ 为任何对 $G$ 上所有的可微函数 $f$ 都有定义的一个运算, 而且具有 ($*$) 式所表示的性质, 则必有唯一的一个向量场 $X$, 使得 $Df=Xf$ 对所有的 $f$ 都成立.
References:
项武义, 侯自新, 孟道骥 著 《李群讲义》 北京大学出版社.