Minkowski 不等式

设 $f$ 是 $[a,b]\times[c,d]$ 上的非负连续函数. $p\geqslant 1$. 则有

\[
\biggl(\int_a^b\Bigl(\int_c^d f(x,y)dy\Bigr)^p dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\int_c^d\Bigl(\int_a^b f^p(x,y)dx\Bigr)^{\frac{1}{p}}dy.
\]

当 $p>1$ 时, 等式成立的充分必要条件是

\[
f(x,y)=u(x)v(y).
\]

利用 Minkowski 不等式, 证明

\[
\biggl(\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^p\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\biggl(\sum_{k=1}^{n}a_k^p\biggr)^{\frac{1}{p}}+\biggl(\sum_{k=1}^{n}b_k^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.
\]

[Hint]

令 $f(k,i)=i_k$,  其中 $i=a$ 或 $b$; $k=1,2,\ldots,n$.

可参考 

real analysis - A kind of Minkowski inequality for integral - Mathematics Stack Exchange