设 $U\in\mathcal{M}_{2n\times 2n}(\mathbb{R})$, 且

\[U=\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix},\quad A,B,C,D\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}).\]

证明: $U$ 是辛矩阵(即 $U\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$)当且仅当 $A^t C$, $B^t D$ 均是对称矩阵, 且 $A^t D-C^t B=I_n$.

特别地, 当 $B=0$ 时, $U$ 是辛矩阵当且仅当 $U$ 可以写成

\[
\begin{pmatrix}A & 0\\ 0 & (A^t)^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_n & 0\\ S & I_n\end{pmatrix},
\]

其中 $S$ 是某个对称矩阵.

Remark: 这个结论对于 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 也成立.

因为一般的辛群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})$ ($K$ 是数域) 的定义如下:

\[
\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K}):=\{A:\ \mathbb{K}^{2n}\rightarrow\mathbb{K}^{2n}\mid\omega(Ax,Ay)=\omega(x,y)\}.
\]

这里 $\omega(x,y)$ 是指斜对称双线性形式(skew-symmetric bilinear form)

\[
\omega(x,y)=\sum_{i=1}^{n}x_i y_{i+n}-y_i x_{i+n}.
\]

在至多变换基的情况下, 这是 $\mathbb{K}^{2n}$ 上唯一的非退化斜对称双线性形式.

等价的, 可以写 $\omega(x,y)=(Jx,y)$, 这里 $(\cdot,\cdot)$ 是 $\mathbb{K}^{2n}$ 上的标准对称双线性形式(标准内积).

\[
J=J_{2n}=\begin{pmatrix}
0 & -I_n\\
I_n & 0
\end{pmatrix}
\]

易见 $J^2=-I_{2n}$, $J^{-1}=-J$. 求 $\exp(J)$.