求定积分 $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x$.

[Hint] 令 $t=\dfrac{1-x}{1+x}$ 或 $x=\dfrac{1-t}{1+t}$.  (by 梅加强老师)

[Hint] 如果用逐项求导的办法, 则可以考虑

\[
I(\alpha)=\int_0^1\frac{\ln(1+\alpha x)}{1+x^2}\mathrm{d}x,
\]

计算 $I'(\alpha)$.   (by 李军) 

Remark: 据说这种方法源自物理学家费因曼. (2021-07-17)

Remark:

\[
\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^n\theta\mathrm{d}\theta.
\]

若令 $I_n=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\tan^n\theta\mathrm{d}\theta$, 则有递推关系 $I_n=\dfrac{1}{n-1}-I_{n-2}$, ($n\geqslant 2$).  参加问题2679.