半连续这个名字通常会让人误解, 原因在于我们对左连续、右连续是熟知的, 而它们比较形象化.

事实上左连续、右连续中的左、右的确分别对应于 $x\rightarrow x_0^-$ 和 $x\rightarrow x_0^+$

而半连续往往会让人比较费解, 即使当时弄明白了, 时间一长可能又忘了.

事实上, 这个“半”字并不用于描述自变量行为的, 而是描述应变量的, 也就是用来刻画连续在最直观几何下的状态的. 由下面的定义, 也就大致明白为何有上半连续和下半连续这两个概念了.

半连续(semi-continuity)

定义 1. 设 $(X,d)$ 是一个度量空间. 考虑函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$, 并设 $x\in X$.

1.  称 $f$ 在 $x$ 点处是上半连续的（upper semi-continuous）, 当且仅当对 $X$ 中每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_t\}$, 都有 $\limsup_{t}f(x_t)\leq f(x)$. 如果 $f$ 在每一点 $x\in X$ 处是上半连续的, 则称 $f$ 在 $X$ 上是上半连续的.

2.  称 $f$ 在 $x$ 点处是下半连续的（lower semi-continuous）, 当且仅当对 $X$ 中每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_t\}$, 都有 $\liminf_{t}f(x_t)\geq f(x)$. 如果 $f$ 在每一点 $x\in X$ 处是下半连续的, 则称 $f$ 在 $X$ 上是下半连续的.

最简单的例子,

• 开集 $V$ 上的特征函数 $\chi_{_V}$ 是下半连续的.
• 闭集 $K$ 上的特征函数 $\chi_{_K}$ 是上半连续的.

Prop. 设每个 $f_n$ 都是上半连续的, $n=1,2,3,\ldots$, 则 $\sum_{n=1}^{N}f_n$ 是上半连续的, 但 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 不一定是上半连续的(请举出反例).

关于上极限($\limsup$)和下极限($\liminf$)的概念, 参见问题2727 .