克莱因-戈登方程(Klein-Gordon equation)

描述光子运动的平面波

\[
A(\vec{r},t)=A_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}
\]

满足的方程是

\[
\frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^2}{\partial t^2}A-\nabla^2 A=0.
\]

把平面波的表达式代入上述波动方程, 可得波矢量 $\vec{k}$ 与圆频率 $\omega$ 之间应满足的关系

\[
\frac{\omega^2}{c^2}=k^2.
\]

从光的粒子性来看, $E=\hbar\omega$, $\vec{p}=\hbar\vec{k}$, 则上式变为

\[
\frac{E^2}{c^2}=p^2
\]

Remark:

(1) 这里 $\nabla^2$ 应该是 $\mathrm{tr}\nabla^2$.

(2) $k=|\vec{k}|$. (参考书上 $\vec{k}$ 是粗体, 指波矢量, 而 $k$ 是该波矢量的模长.)

References:

王正行 编著《近代物理学》,  P.163