[Thm] 设 $M$ 是第二可数的 Hausdorff 拓扑空间. 若 $\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$ 是 $M$ 的一个 $C^\infty$ 图汇, 即 $\{V_\beta\}$ 覆盖了 $M$, 且 $\psi_\beta$ 将 $V_\beta$ 同胚到欧氏空间中的某个开集. 并且转换映射 $\psi_\beta\'\circ\psi_\beta^{-1}$ 是 $C^\infty$ 的. 则 $M$ 上存在惟一的光滑结构, 使之是给定图汇的(惟一的)极大化.

Remark.

这个定理告诉我们, 在验证第二可数的 Hausdorff 拓扑空间 $M$ 是光滑流形时, 只要找到一个 $C^\infty$ 图汇即可, 不需要通过极大化手段去得到定义中所要求的极大图汇. 因为该定理明确了存在惟一的光滑结构, 包含了这些开集及相应的映射. 从而简化了验证步骤.