[Thm] 设 $M$ 是第二可数的 Hausdorff 拓扑空间. 若 $\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$ 是 $M$ 的一个 $C^\infty$ 图汇, 即 $\{V_\beta\}$ 覆盖了 $M$, 且 $\psi_\beta$ 将 $V_\beta$ 同胚到欧氏空间中的某个开集. 并且转换映射 $\psi_\beta\'\circ\psi_\beta^{-1}$ 是 $C^\infty$ 的. 则 $M$ 上存在惟一的光滑结构, 使之是给定图汇的(惟一的)极大化.
Remark.
这个定理告诉我们, 在验证第二可数的 Hausdorff 拓扑空间 $M$ 是光滑流形时, 只要找到一个 $C^\infty$ 图汇即可, 不需要通过极大化手段去得到定义中所要求的极大图汇. 因为该定理明确了存在惟一的光滑结构, 包含了这些开集及相应的映射. 从而简化了验证步骤.
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将所有与给定图汇 $\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$ 中每个图卡 $C^\infty$-相容的坐标邻域 $(U,\varphi)$ 都拿来, 构成新的一个图汇 $\mathcal{U}$. 我们证明它是 $M$ 上的一个 $C^\infty$-微分结构.
首先 $\mathcal{U}$ 当然包含了所有 $(V_\beta,\psi_\beta)$, 因此自然 $\mathcal{U}$ 覆盖了 $M$.
现任取 $\mathcal{U}$ 中两个图卡 $(U_1,\varphi_1)$, $(U_2,\varphi_2)$, 且设 $U_1\cap U_2\neq\emptyset$. 由于它们是局部坐标邻域, 因此 $\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$, $\varphi_1\circ\varphi_2^{-1}$ 均是欧氏空间中开集之间的同胚映射. 我们仅需验证它们是 $C^\infty$ 的.
任取点 $x=\varphi_1(p)\in\varphi_1(U_1\cap U_2)$, 设 $p$ 点属于某个 $V_\beta$. 因此 $W:=V_\beta\cap U_1\cap U_2$ 是包含 $p$ 的一个开集, 且 $\varphi(W)$ 是包含 $x$ 的一个开集. 在 $\varphi(W)$ 上定义转换映射
\[\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}:=\varphi_2\circ\psi_{\beta}^{-1}\circ\psi_\beta\circ\varphi_1^{-1}.\]
由于 $\varphi_2\circ\psi_{\beta}^{-1}$ 和 $\psi_\beta\circ\varphi_1^{-1}$ 都是 $C^\infty$ 的. (这是因为我们定义 $\mathcal{U}$ 时所要求的, $(U,\varphi)$ 与给定的 $(V_\beta,\psi_\beta)$ 是 $C^\infty$-相容的.) 因此, 复合映射 $\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ 也是 $C^\infty$ 的. 由于 $\mathcal{U}$ 中的图卡在 $M$ 的每个点的小邻域上都是 $C^\infty$-相容的, 因此 $\mathcal{U}$ 是 $C^\infty$ 图汇.
最后 $\mathcal{U}$ 的极大性毋庸置疑, 任意与 $\mathcal{U}$ 中图卡 $C^\infty$ 相容的 $(U,\varphi)$ 当然也与 $\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$ 是 $C^\infty$-相容的. 这也体现了惟一性.
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.54.