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证明在球坐标系下, 拉普拉斯算子 $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 可写为 $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$.

设 $\Sigma$ 为半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ $(z\leqslant 0)$ 的上侧, 求曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 的值.

设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, 取顺时针方向, 求 $\oint_{L}\frac{(x+y)\mathrm{d}x-(x-y)\mathrm{d}y}{4x^2+9y^2}$.

[高考题] 2026数学高考最后一题

常微分方程

求 $y''+py'+qy=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$ 的特解.

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