Answer

问题及解答

[Dirichlet 定理]算术级数 {a+bnn0} 中含有无穷多个素数, 只要 ab 互素.

Posted by haifeng on 2012-12-28 14:21:12 last update 2015-12-08 17:24:04 | Edit | Answers (0)

证明 Dirichlet 定理需要以下知识:

  • 有限交换群的特征 (characters of finite abelian groups)
  • Dirichlet L 级数 (Dirichlet L-series)

 

译自

Kuat Yessenov, Dirichlet\'s theorem on primes in arithmetic progressions

Download from [http://people.csail.mit.edu/kuat/courses/dirichlet.pdf]


下载中译本 [Dirichlet 定理的证明]

 

1. 介绍


我们知道大于 2 的素数都是奇数. 换句话说, 算术级数(arithmetic progression, 即等差级数) {1+2kkZ>0} 中包含了无穷多个素数. 我们想知道这对于一般的算术级数加上一些必要条件是否也成立. 运用初等的方法可以证明这个结论对于 {±1+4kkZ>0} 成立(see [1]). (注: 形如 4k+1 的素数可以唯一地表示为两个数的平方和.)

 

Theorem 1.1 (Dirichlet). 设 am 是两个互素的正整数. 则存在无穷多个素数 p, 使得 pa(modm).

 

我们首先讲述两个基本工具: 交换群的特征(characters of finite abelian groups), L-级数. 我们沿用 [1] 中的证明.

 

2. Characters

考虑一个有限 Abel 群 G.
Definition 2.1 G 的特征是指 G 到复数乘法群 C× 的一个同态: χ:GC×

这些特征在群运算 (χ1χ2)(x)=χ1(x)χ2(x), 以及单位元 χ0(x)=1,  xG 之下构成一个群 G^. 这个群称为 G 的对偶群(dual group).

对任意特征 χ, 存在特征 χ¯ (通过复数的共轭来定义)
χ¯(x)=χ(x)=1χ(x).

关于特征的一些性质对于一般的有限 Abel 群也是成立的. 但是我们这里将注意力集中在某一特殊类型的群上.

Proposition 2.2. 对偶群 G^ 同构于群 G. 特别的, 它们具有相同数量的元素.

证明. 我们对于 G 的元素个数 n 进行归纳来证明 GG^. 对于生成元为 x 的循环群 G, χ(x) 是单位 1n 次根.
 


完整内容详见上面的中译本