问题及解答

\section{旋转曲面}
考虑曲线 $\gamma (t)=(r(t),z(t)):I\to {\mathbb{R}}^2$, 其中 $I\subset \mathbb{R}$ 是开区间, 且 $r(t)>0$, $\mathrm{\forall }t\in I$. 将该曲线绕 $z$-轴旋转一周, 即得一旋转曲面. 可表示为:
$$(t,\theta )\mapsto f(t,\theta )=(r(t)\cos \theta ,r(t)\sin \theta ,z(t)).$$

这是柱坐标表示, 在整个曲面上我们有一个自然标架 ${\partial }_t$, ${\partial }_{\theta }$, 与其对偶的余标架为 $dt$, $d\theta$. 我们希望在该标架下写出旋转曲面的度量, 它由 ${\mathbb{R}}^3$ 上的标准度量 $d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$ 诱导而来.

由于 $x=r(t)\cos \theta$, $y=r(t)\sin \theta$, $z=z(t)$. 因此有
$$\begin{array}{rl}dx& =\dot{r}(t)\cos \theta dt-r\sin \theta d\theta \\ dy& =\dot{r}(t)\sin \theta dt+r\cos \theta d\theta \\ dz=\dot{z}dt\end{array}$$
故,
$$\begin{array}{rl}d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2& =(\dot{r}(t)\cos \theta dt-r\sin \theta d\theta {)}^2+(\dot{r}(t)\sin \theta dt+r\cos \theta d\theta {)}^2+(\dot{z}dt{)}^2\\ & =({\dot{r}}^2{\cos }^2\theta +{\dot{r}}^2{\sin }^2\theta )d{t}^2+(\dot{r}\sin \theta \cdot r\cos \theta -\dot{r}\cos \theta \cdot r\sin \theta )dtd\theta \\ & +(r\cos \theta \dot{r}\sin \theta -r\sin \theta \dot{r}\cos \theta )d\theta dt\\ & +(r^2{\sin }^2\theta +r^2{\cos }^2\theta )d{\theta }^2+{\dot{z}}^{2}d{t}^2\\ & =({\dot{r}}^2+{\dot{z}}^2)d{t}^2+r^{2}d{\theta }^2.\end{array}$$
于是
$$g=({\dot{r}}^2+{\dot{z}}^2)d{t}^2+r^{2}d{\theta }^2.$$
若曲线以弧长作为参数, 则 ${\dot{r}}^2+{\dot{z}}^2=1$, 从而 $g$ 有更简单的形式 $g=d{t}^2+r^{2}d{\theta }^2$. 这使人想起 ${\mathbb{R}}^2$ 的极坐标表示. 但当 $r=0$ 时, 有的旋转曲面是尖点, 不光滑.

例. 18 在 $I\times S^1$ 上, 我们也有标架 ${\partial }_t$, ${\partial }_{\theta }$, 及其对偶的余标架 $dt$, $d\theta$. 形如
$$g={\eta }^2(t)d{t}^2+{\phi }^2(t)d{\theta }^2$$
的度量称为旋转度量(rotationally symmetric), 这是由于 $\eta ,\phi$ 与 $\theta$ 无关. 一般地, 通过改变 $I$ 上的坐标, 可以假设 $\eta =1$.

注意并非所有旋转对称度量均来自于旋转曲面. 因为当 $d{t}^2+r^{2}d{\theta }^2$ 是某旋转曲面的度量时, 则一定有 ${\dot{z}}^2+{\dot{r}}^2=1$, 从而 $|\dot{r}|⩽1$, $\mathrm{\forall }t$.

例. 19 $S^2(r)\subset {\mathbb{R}}^3$ 是一旋转曲面, 只需将曲线 $t\mapsto (r\sin (\frac{t}{r}),r\cos (\frac{t}{r}))$ 绕 $z$-轴旋转一周即可. 度量形如 $d{t}^2+r^2{\sin }^2(\frac{t}{r})d{\theta }^2$.

证明: 只需令
$$\{\begin{array}{l}\gamma (t)=r\sin \frac{t}{r},\\ z(t)=r\cos \frac{t}{r}.\end{array}$$
将之代入 $g=({\dot{\gamma }}^2+{\dot{z}}^2)d{t}^2+{\gamma }^{2}d{\theta }^2$, 即得
$$g=d{t}^2+r^2{\sin }^2(\frac{t}{r})d{\theta }^2.$$


注: 注意到当 $r\to +\mathrm{\infty }$ 时,
$$r\sin \frac{t}{r}=\frac{\sin \frac{t}{r}}{\frac{t}{r}}\cdot t\to t.$$
因此度量趋向于
$$d{t}^2+t^{2}d{\theta }^2,$$
此即欧氏空间度量的极坐标表示. 因此半径非常大的球面看上去像欧氏空间.

当将 $r$ 变为 $ir$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 我们将得到一个有趣的旋转度量:
$$d{t}^2+r^2{\sinh }^2(\frac{t}{r})d{\theta }^2.$$
注意这不是旋转曲面上的度量.

证明: 注意, $\sin iz=i\sinh z$, $\cos iz=\cosh z$. 将
$$d{t}^2+r^2{\sin }^2(\frac{t}{r})d{\theta }^2$$
中的 $r$ 变为 $ir$, 得到
$$\begin{array}{rl}& d{t}^2+(ir{)}^2{\sin }^2(\frac{t}{ir})d{\theta }^2\\ =& d{t}^2-r^2{\sin }^2(-i\frac{t}{r})d{\theta }^2\\ =& d{t}^2-r^2{\sin }^2(i\frac{t}{r})d{\theta }^2\\ =& d{t}^2-r^2(i\sinh \frac{t}{r}{)}^{2}d{\theta }^2\\ =& d{t}^2+r^2{\sinh }^2\frac{t}{r}d{\theta }^2.\end{array}$$
Q.E.D

若记 $s{n}_k(t)$ 为方程
$$\{\begin{array}{rcl}\ddot{x}(t)+kx(t)& =& 0,\\ x(0)& =& 0,\\ \dot{x}(0)& =& 1\end{array}$$
的惟一解, 则我们得到一簇旋转对称度量
$$d{t}^2+{\text{sn}}_k^2(t)d{\theta }^2.$$
记号 ${\text{sn}}_k$ 在此课程中将被广泛使用, 应将其与 Jacobi 椭圆函数 $\text{sn}(k,u)$ 予以区别开来.

• 当 $k=0$ 时, 该度量是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的极坐标形式度量.
• 当 $k>0$ 时, 该度量是 $S^2(\frac{1}{\sqrt{k}})$ 上的标准度量.
• 当 $k<0$ 时, 该度量是双曲空间上的度量.