问题及解答

设 $(M^n,g)$ 是一 $n(\geq 4)$ 维的完备单连通黎曼流形, 且具有非正截面曲率. 则下面的不等式是否成立?

\[
\text{vol}_{n}(\Omega)\leq\frac{\text{vol}_n(B^n(1))}{[\text{vol}_{n-1}(S^{n-1}(1))]^{\frac{n}{n-1}}}\cdot [\text{vol}_{n-1}(\partial\Omega)]^{\frac{n}{n-1}}
\]

这里 $S^{n-1}(1)=\partial B^n(1)$, $B^n(1)$ 指欧氏空间中半径为 1 的开球.

Remark:

B. Kleiner 解决了 $n=3$ 的情形.