问题及解答

• 设 $\{p_i\}_{i\geq 1}$ 是一递增素数列. 则对每个 $i$, 有 $p_{i+1}\leq 2p_i$.
• 任给素数 $p$, 总存在一个素数 $q$ 使得 $p < q < p^2$.

特别的, 当 $p_i > 3$, 根据 Bertrand 假设(见问题661), $(p_{i},2p_i-2)$ 之间至少存在一个素数, 因此 $p_{i+1} < 2p_i$.

也就是说, 满足 $p_{n+1}=2p_n-1$ 的只有两个例子:

\[
2\times 2-1= 3 =p_2,\quad 2\times 3-1= 5 =p_3.
\]