问题及解答

设

\[A=
\begin{pmatrix}
1 & \lambda\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

求 $A^n$.

当然这个问题其实很简单, 只要用数学归纳法就可以证明了. 事实上

\[
A^n=
\begin{pmatrix}
1 & n\lambda\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

请问: 是否有其他的方法或解释?

将所有这种矩阵组成一个集合, 记为

\[
G=\biggl\{
\begin{pmatrix}
1 & \lambda\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\ \biggr|\ \lambda\in\mathbb{R}
\biggr\}
\]

易见 $G$ 在矩阵的乘法下构成一个群. 作映射

\[
\begin{array}{rcl}
f:\ G&\rightarrow&\mathbb{R}\\
A&\mapsto&\lambda
\end{array}
\]

则 $f$ 是加法群 $(G,\cdot)$ 与 $(\mathbb{R},+)$ 之间的一个同构.

因此, $A^n$ 对应于 $n\lambda$. 因此

\[
A^n=\begin{pmatrix}
1 & n\lambda\\
0 &1\\
\end{pmatrix}
\]