求积分
\[
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin nx}{\sin x}dx.
\]
Hint:
当 $n=2k-1$, $(k\geqslant 1)$ 时, 积分等于 $\frac{\pi}{2}$. 这个证明在 问题1388 的证明 中出现过; 即特别的有
\[
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}.
\]
当 $n=2k$, $(k\geqslant 1)$ 时, 积分的值与 $\frac{\pi}{2}$ 有关 (事实上当 $k\rightarrow+\infty$ 时, 极限为 $\frac{\pi}{2}$), 证明是类似的.
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回忆三角函数的和差化积公式
\[
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.
\]
因此
\[
\sin(2k)x-\sin(2k-2)x=2\sin x\cos(2k-1)x.
\]
于是, 有
\[
\begin{eqnarray}
\sin(2k)x-\sin(2k-2)x&=&2\sin x\cos(2k-1)x,\\
\sin(2k-2)x-\sin(2k-4)x&=&2\sin x\cos(2k-3)x,\\
\vdots &=& \vdots\\
\sin 4x-\sin 2x &=& 2\sin x\cos 3x,\\
\sin 2x-\sin 0 &=& 2\sin x\cos x.\\
\end{eqnarray}
\]
将以上 $k$ 个式子相加, 得到
\[
\sin(2n-1)x-\sin x=2\sin x\cdot\bigl[\cos 2x+\cos 4x+\cdots+\cos 2(n-1)x\bigr],
\]
因此
\[
\frac{\sin(2k)x}{\sin x}=2\bigl[\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\cdots+\cos (2k-1)x\bigr].
\]
于是,
\[
\begin{split}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2k)x}{\sin x}dx&=2\sum_{j=1}^{k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2j-1)x dx\\
&=2\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2j-1}\sin(2j-1)x\biggr|_{0}^{\pi/2}\\
&=2\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2j-1}\sin(j\pi-\frac{\pi}{2})\\
&=2\sum_{j=1}^{n}\frac{(-1)^{j-1}}{2k-1}\\
&=2(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1})\\
&<2\cdot\frac{\pi}{4}\\
&=\frac{\pi}{2}.
\end{split}
\]
当 $k\rightarrow+\infty$ 时, 极限为 $\frac{\pi}{2}$. 参见