问题及解答

设 $0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$,

\[
f(x)=\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt{t}dt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos\sqrt{t}dt,
\]

求 $f(x)$.

由于 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, 故 $\sin x, \cos x$ 均大于等于 0.

\[
\begin{split}
\frac{df(x)}{dx}&=\arcsin\sqrt{\sin^2 x}\cdot(\sin^2 x)'+\arccos\sqrt{\cos^2 x}\cdot(\cos^2 x)'\\
&=x\cdot 2\sin x\cos x+x\cdot 2\cos x\cdot(-1)\sin x\\
&=0,
\end{split}
\]

因此 $f(x)=C$, 其中 $C$ 是某个常数. 因此只需计算 $f(0)$.

\[
\begin{split}
f(0)&=\int_0^0\arcsin\sqrt{t}dt+\int_0^1\arccos\sqrt{t}dt\\
&=\int_0^1\arccos\sqrt{t}dt\\
&=t\arccos\sqrt{t}\biggr|_{0}^{1}-\int_0^1 t\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-t}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}dt.
\end{split}
\]

最简单的计算方法是令 $u=\sin t$, 其中 $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$. 于是

\[
\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du=\frac{\sin^2 t}{\sqrt{1-\xin^2 t}}d\sin t=\frac{\sin^2 t}{\cos t}\cdot\cos tdt=\sin^2 tdt,
\]

于是

\[
\begin{split}
\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}dt&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 tdt\\
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos(2t)}{2}dt\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t)\biggr|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi}{4}.
\end{split}
\]

因此, $f(x)=\frac{\pi}{4}$.

Remark: 你还可以尝试令 $u=\sqrt{t}$ 或 $u=\sqrt{\frac{t}{1-t}}$. 不过计算比较复杂.