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问题及解答

设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $f|_{A}\equiv 1$, $f|_{B}\equiv 0.$

Posted by haifeng on 2015-07-29 13:06:05 last update 2015-07-29 13:06:05 | Edit | Answers (1)

设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得

\[
f|_{A}\equiv 1,\quad f|_{B}\equiv 0.
\]

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Posted by haifeng on 2015-07-29 13:27:53

令 $U=M-A$, $V=M-B$, 则 $U\cup V=M$, 且 $V$ 是 $A$ 的开邻域.

根据光滑延拓定理, 存在光滑函数 $\phi:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $\phi|_{A}\equiv 1$, $\text{supp}\phi\subset V$.

从而 $\phi|_{B}\equiv 0$. $\phi$ 即为所求.