设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $f|_{A}\equiv 1$, $f|_{B}\equiv 0.$
设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得
\[
f|_{A}\equiv 1,\quad f|_{B}\equiv 0.
\]
设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得
\[
f|_{A}\equiv 1,\quad f|_{B}\equiv 0.
\]
1
令 $U=M-A$, $V=M-B$, 则 $U\cup V=M$, 且 $V$ 是 $A$ 的开邻域.
根据光滑延拓定理, 存在光滑函数 $\phi:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $\phi|_{A}\equiv 1$, $\text{supp}\phi\subset V$.
从而 $\phi|_{B}\equiv 0$. $\phi$ 即为所求.