Hurwitz zeta 函数
Hurwitz zeta 函数
\[
\zeta(s,a):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^s},\quad\mathrm{Re}s > 1,\ \text{且}\ \mathrm{Re}a > 0.
\]
这个函数可以扩充到整个复平面 $\mathbb{C}$ 上成为一个亚纯函数. 其 Laurent 展式为
\[
\zeta(s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(a)(s-1)^n,
\]
其中 $\gamma_k(a)$ 是 Stieltjes 常数.