问题及解答

设 $p$ 是素数, $a,b$ 都与 $p$ 互素, 且

\[
a^p\equiv b^p\pmod p
\]

证明

\[
a^p\equiv b^p\pmod {p^2}
\]

$(a,p)=1=(b,p)$, 根据欧拉定理, 有 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$, $b^{p-1}\equiv 1\pmod p$. 即 $a^p\equiv a\pmod p$, $b^p\equiv b\pmod p$. 而条件是 $a^p\equiv b^p\pmod p$. 故 $a\equiv b\pmod p$.   

\[
a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+a^2 b^{p-3}+ab^{p-2}+b^{p-1}).
\]

根据题设 $p|(a^p-b^p)$, 因此 $p|(a-b)$ 或者 $p|(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+a^2 b^{p-3}+ab^{p-2}+b^{p-1})$.

$p|(a-b)$, 不妨设 $b=a+kp$, 于是

\[
\begin{split}
&a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+a^2 b^{p-3}+ab^{p-2}+b^{p-1}\\
=&a^{p-1}+a^{p-2}(a+kp)+a^{p-3}(a+kp)^2+\cdots+a^2(a+kp)^{p-3}+a(a+kp)^{p-2}+(a+kp)^{p-1}\\
=&pa^{p-1}+p\Bigl[ka^{p-2}+\cdots+k^{p-1}p^{p-2}\Bigr]
\end{split}
\]

因此, $p|(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+a^2 b^{p-3}+ab^{p-2}+b^{p-1})$. 从而 $p^2|(a^p-b^p)$.