问题及解答

为计算一些高阶同伦群, 我们需要研究高阶同伦群(higher homotopy groups)与同调群(homology)之间的关系.

关键因素是 Hurewicz homomorphism

\[
\Phi:\ \pi_k(X,x_0)\rightarrow H_k(X)
\]

回忆 $S^k$ 的标准定向决定了下面的典范同构

\[
H_k(S^k)\cong\mathbb{Z}.
\]

其生成元是基本类 $[S^k]\in H_k(S^k)$.

如果 $f:(S^k,p)\rightarrow (X,x_0)$ 代表了 $[f]\in\pi_k(X,x_0)$, 我们定义

\[
\Phi([f]):=f_*[S^k]\in H_k(X).
\]

References:

Michael Hutchings, Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.