问题及解答

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}$$

记 $c_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n$, 可以证明 $\{c_n{\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ 是单调递减数列, 且显然有下界 $0$. 因此有极限. 这个极限就是所谓的 Euler 常数, 我们记之为 $\gamma$.

因此

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{c_n+\ln n}{\ln n}\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{c_n}{\ln n}+1)\\ =& 1.\end{array}$$

(法二) 使用 Stolz 公式

记 $x_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$, $y_n=\ln n$. 于是 $y_n$ 严格单调递增趋于 $+\mathrm{\infty }$, 因此根据 Stolz 公式之一, 得

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n}}{\ln n-\ln (n-1)}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n\ln (1+\frac{1}{n-1})}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\ln (1+\frac{1}{n-1}{)}^n}\\ & =1.\end{array}$$