问题及解答

设 $x_1>0$, $x_{n+1}=\ln (x_n+1)$. 求

(1) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$;

(2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n\cdot x_{n+1}}{x_n-x_{n+1}}$.

考虑函数 $y=x-\ln (1+x)$, $x\in [0,+\mathrm{\infty })$. 则 $y(0)=0$, 且

$$y^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0,\mathrm{\forall }x>0.$$

因此 $y(x)>y(0)$, 对任意 $x>0$. 因此有 $x>\ln (1+x)$, $\mathrm{\forall }x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

由于 $x_1>0$, 于是 $0<x_{n+1}=\ln (x_n+1)<x_n$, 因此数列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是单调递减有下界, 故存在极限, 设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$.

对方程 $x_{n+1}=\ln (x_n+1)$ 两边取极限, 得 $a=\ln (a+1)$, 可得唯一解 $a=0$. 即有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$.