问题及解答

证明: $\exp(x)\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})\Leftrightarrow x+Jx^t J^{-1}=0$. 这里 $x\in\mathcal{M}(2n,\mathbb{K})$.

首先 $J^{-1}=-J$, 于是

\[
x+Jx^t J^{-1}=0\Leftrightarrow Jx+x^t J=0.
\]

于是 $Jx=-x^t J$, $Jx^2=(Jx)x=-x^t Jx=(x^t)^2 J$. 一般的, 有 $Jx^n=(-1)^n (x^t)^n J$.

\[
\begin{split}
J\exp(x)&=J(I+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots)\\
&=J+\frac{Jx}{1!}+\frac{Jx^2}{2!}+\cdots+\frac{Jx^n}{n!}+\cdots\\
&=J-\frac{x^t J}{1!}+\frac{(x^t)^2 J}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{(x^t)^n J}{n!}+\cdots\\
&=(I-\frac{x^t}{1!}+\frac{(x^t)^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{(x^t)^n}{n!}+\cdots)\cdot J\\
&=\exp(-x^t)J
\end{split}
\]

注意到 $\exp(x^t)\exp(-x^t)=I$, 因此, 两边左乘 $\exp(x^t)$, 得 $\exp(x^t)J\exp(x)=J$, 故推出 $\exp(x^t)\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})$.