设当 $x\in[a,b]$ 时, $f(x)\in[a,b]$. 且 $|f(x)-f(y)|\leqslant k|x-y|$, $0 < k < 1$.
证明: (1) 存在唯一的 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.
(2) 若 $x_1\in[a,b]$, $x_{n+1}=f(x_n)$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$.
Remark:
一般的压缩映像原理请参见问题1107
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(1) 唯一性很容易证明.
下证存在性.
记 $T(x)=f(x)$, $T^2(x)=T(T(x))$, $T^{k+1}(x)=T(T^k(x))$, $k=1,2,\ldots$.
任意固定 $x$, 由 $|T(x)-T(y)|\leqslant k|x-y|$ 推出
\[
|T^n(x)-T^n(y)|\leqslant k^n|x-y|
\]
不妨令 $y=f(x)$, 且记 $x_n=T^n(x)$, 则 $T^n(y)=T^n(T(x))=x_{n+1}$, 于是得 $|x_n-x_{n+1}|\leqslant k^n|x-T(x)|\rightarrow 0$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时.
故 $\{x_n\}$ 是一个 Cauchy 列, 因此收敛(由于 $\mathbb{R}$ 是完备的度量空间, 故极限还在 $\mathbb{R}$ 中). 记 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$.
我们说明这个极限点 $x_0$ 就是 $T$ 的不动点.
对于 $x_{n+1}=T(x_n)$ 两边取极限, 可得 $x_0=Tx_0$. (注意这里用到了 $T$ 的连续性.)