设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是 $n$ 阶方阵, 其中 $a_{ij}=\frac{c_i}{c_j}$, $c_j\neq 0$, $\forall\ i,j=1,2,\ldots,n$. (此条件等价于 $a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$, 对任意 $i,j,k$. 这里只是两个数 $a_{ij}$ 和 $a_{jk}$ 做乘积, 不是求和.)
这样的矩阵称为 一致矩阵.
证明:
(1) $\mathrm{rank}(A)=1$;
(2) $A$ 的唯一非零特征值是 $n$;
(3) $A$ 的任一列向量都是关于特征值 $n$ 的特征向量.
1
(1)
首先 $a_{ii}=\frac{c_i}{c_i}=1$, 因此 $\mathrm{rank}(A)\geqslant 1$.
任取一个二阶子方阵, 可证其行列式为零. 事实上,
\[
\begin{vmatrix}
a_{ij} & a_{ik}\\
a_{lj} & a_{lk}\\
\end{vmatrix}
=a_{ij}a_{lk}-a_{ik}a_{lj}=\frac{c_i}{c_j}\frac{c_l}{c_k}-\frac{c_i}{c_k}\frac{c_l}{c_j}=0.
\]
因此 $\mathrm{rank}(A)=1$.
(2) 参见问题1963.
(3)
注意到
\[
\begin{split}
&(\frac{c_i}{c_1},\frac{c_i}{c_2},\frac{c_i}{c_3},\cdots,\frac{c_i}{c_n})\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{c_1}{c_j}\\
\frac{c_2}{c_j}\\
\frac{c_3}{c_j}\\
\vdots\\
\frac{c_n}{c_j}\\
\end{pmatrix}\\
=&c_i(\frac{1}{c_1},\frac{1}{c_2},\frac{1}{c_3},\cdots,\frac{1}{c_n})\cdot
\frac{1}{c_j}\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2\\
c_3\\
\vdots\\
c_n\\
\end{pmatrix}\\
=&\frac{c_i}{c_j}\cdot n=na_{ij}
\end{split}
\]
故得
\[
A^2=nA
\]
因此 $A$ 的任意一个列向量都是相应于特征值 $\lambda=n$ 的特征向量.