问题

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是 $n$ 阶方阵, 其中 $a_{ij}=\frac{c_i}{c_j}$, $c_j\neq 0$, $\forall\ i,j=1,2,\ldots,n$. (此条件等价于 $a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$, 对任意 $i,j,k$. 这里只是两个数 $a_{ij}$ 和 $a_{jk}$ 做乘积, 不是求和.)

这样的矩阵称为 一致矩阵.

证明:

(1) $\mathrm{rank}(A)=1$;

(2) $A$ 的唯一非零特征值是 $n$;

(3) $A$ 的任一列向量都是关于特征值 $n$ 的特征向量.