问题及解答

设矩阵 $A=C^T C$, $B=D^T D$, 这里 $C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵.

证明:

(1) 矩阵 $A$ 和 $B$ 都是半正定矩阵.

(2) 当 $\lambda,\mu$ 都大于零时, 存在实矩阵 $P$, 使得 $\lambda A+\mu B=P^T P$.

Remark:

矩阵正定和半正定的定义和性质参见问题910.

(1) 对于形如 $A=C^T C$, $C\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 这样的矩阵, 都是半正定矩阵.

事实上, 任取 $\vec{0}\neq \vec{x}\in\mathbb{R}^n$, 我们可证明 $\vec{x}^T C^T C\vec{x}\geqslant 0$.

设 $C=(c_{ij})_{n\times n}$, 则

\[
C\vec{x}=\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn}\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n
\end{pmatrix}\stackrel{\triangle}{=}\begin{pmatrix}
y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n
\end{pmatrix}
\]

于是

\[
\vec{x}^T C^T C\vec{x}=(C\vec{x})^T C\vec{x}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\begin{pmatrix}
y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n
\end{pmatrix}=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\geqslant 0.
\]

因此, 根据定义, 矩阵 $A=C^T C$ 是半正定的.

(2) 既然 $A,B$ 都是半正定矩阵, 因此根据定义 $\lambda A+\mu B$ 也是半正定的, 只要 $\lambda, \mu$ 都非负.

从而存在 $n$ 阶实矩阵 $P$, 使得 $\lambda A+\mu B=P^T P$.