问题

设矩阵 $A=C^T C$, $B=D^T D$, 这里 $C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵.

证明:

(1) 矩阵 $A$ 和 $B$ 都是半正定矩阵.

(2) 当 $\lambda,\mu$ 都大于零时, 存在实矩阵 $P$, 使得 $\lambda A+\mu B=P^T P$.

Remark:

矩阵正定和半正定的定义和性质参见问题910.