由于 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$, 因此 $V_i:=\frac{X_i-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$, $\forall i=1,2,\ldots,n$.
记 $\{V_i\}_{i=1}^{n}$ 不是独立的, 事实上
\[
\sum_{i=1}^{n}V_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i-\mu}{\sigma}=\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)=\frac{1}{\sigma}\cdot\Bigl((\sum_{i=1}^{n}X_i)-n\mu\Bigr)
\]
显然 $E(\sum_{i=1}^{n}V_i)=\sum_{i=1}^{n}E(V_i)=0$. 因此 $\{V_i\}_{i=1}^{n}$ 不是互相独立的.
若 $V_i=X_i-\bar{X}$, 这里 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$, 则 $V_n$ 可以由 $\{V_i\}_{i=1}^{n-1}$ 线性表示. 另一方面, $\{V_i\}_{i=1}^{n-1}$ 是互相独立的.
事实上,
\[
\begin{pmatrix}
V_1\\ V_2\\ \vdots\\ V_{n-1}\\ V_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
-\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}\\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} &1-\frac{1}{n} \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X_1\\ X_2\\ \vdots\\ X_{n-1}\\ X_n
\end{pmatrix}
\]
简记为 $\vec{V}=A\vec{X}$. 容易验证 $|A|=0$. (关于 $A$ 这个矩阵, 可以参见问题1379), 并且 $\mathrm{rank}(A)=n-1$. 事实上, $A$ 的左上角 $n-1$ 阶方阵的行列式非零(等于 $\frac{1}{n}$, 参加问题2143).
因此 $\{V_i\}_{i=1}^{n-1}$ 是独立的.
根据 $\chi^2$-分布的定义, 知
\[
\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]
注意到 $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$, 因此
\[
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]