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单个正态总体统计量的分布

Posted by haifeng on 2018-05-29 13:01:32 last update 2018-06-01 15:07:10 | Answers (3) | 收藏


设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是一容量为 $n$ 的样本, 其均值记为 $\bar{X}$, 标准差记为 $s$, 则有

(1)

\[
\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),
\]

或等价的,

\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).
\]

 

(2)

\[
\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),
\]

\[
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]

 

(3)

\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1).
\]


 

References:

赵静、但琦 等编 《数学建模与数学实验》 高等教育出版社  P. 186.