问题及解答

在银行贷款有两种还款方式：【等额本息】和【等额本金】

引入以下记号：

$A$: 贷款本金

$x$: 每月还款金额（简称【每月本息】）

$R$: 年利率

$r$: 月利率（为年利率的$1/12$, 即 $R=12r$.）

$N$: 还款月数

于是等额本息的每月还贷金额计算公式为

$$x=A\times \frac{r(1+r{)}^N}{(1+r{)}^N-1}$$

下面我们来推导这个公式.

假设 $Q_1$ 为还掉第一期贷款（即第一个月的本息）后所欠金额总数。

$Q_i$ 为第 $i$ 期还款后的欠款总金额。$n$ 为当前还款的期数. $n=1,2,\dots ,N$.

则，$n=1$, （指还完第一期贷款）

$$Q_1=A(1+r)-x$$

$n=2$, （指还完第二期贷款）

$$\begin{array}{rl}{Q}_2& =Q_1(1+r)-x\\ & =[A(1+r)-x](1+r)-x\\ & =A(1+r{)}^2-[1+(1+r)]x\end{array}$$

$n=3$, （指还完第三期贷款）

$$\begin{array}{rl}{Q}_3& =Q_2(1+r)-x\\ & =[A(1+r{)}^2-[1+(1+r)]x](1+r)-x\\ & =A(1+r{)}^3-[1+(1+r)+(1+r{)}^2]x\end{array}$$

归纳假设

$n=k$, （指还完第 $k$ 期贷款）

$$\begin{array}{}\text{(*)}& Q_k=A(1+r{)}^k-[1+(1+r)+(1+r{)}^2+\cdots +(1+r{)}^{k-1}]x,\end{array}$$

则当 $n=k+1$, （指还完第 $k+1$ 期贷款）

$$\begin{array}{rl}{Q}_{k+1}& =Q_k(1+r)-x\\ & =[A(1+r{)}^k-[1+(1+r)+(1+r{)}^2+\cdots +(1+r{)}^{k-1}]x](1+r)-x\\ & =A(1+r{)}^{k+1}-[(1+r)+(1+r{)}^2+\cdots +(1+r{)}^k]x-x\\ & =A(1+r{)}^{k+1}-[1+(1+r)+(1+r{)}^2+\cdots +(1+r{)}^k]x.\end{array}$$

因此 (*) 对任何 $k=1,2,\dots ,N$ 都成立. 进一步可以化简

$$\begin{array}{rl}{Q}_k& =A(1+r{)}^k-[1+(1+r)+(1+r{)}^2+\cdots +(1+r{)}^{k-1}]x\\ & =A(1+r{)}^k-\frac{1-(1+r{)}^k}{1-(1+r)}\cdot x\\ & =A(1+r{)}^k-\frac{(1+r{)}^k-1}{r}\cdot x\end{array}$$

当 $k=N$ 时, $Q_N=0$. 于是有

$$A(1+r{)}^N=x\cdot \frac{(1+r{)}^N-1}{r}$$

这推出

$$x=\frac{Ar(1+r{)}^N}{(1+r{)}^N-1}.$$