某厂向用户提供发动机, 合同规定: 第一、二、三季度末分别交货 40 台、60 台、80 台.
每季度的生产费用为 $f(x)=ax+bx^2$ (元), 其中 $x$ 是该季度生产的发动机台数.
若交货后有剩余, 可用于下季度交货, 但需支付存储费, 每台每季度 $c$ 元.
已知工厂每季度最大生产能力为 100 台, 第一季度开始时无存货.
设 $a=50$, $b=0.2$, $c=4$, 问工厂应如何安排生产计划, 才能既满足合同又使总费用最低?
讨论 $a,b,c$ 变化对计划的影响, 并作出合理的解释.
为便于理解, 将题中的信息列出如下:
| 第一季度 | 第二季度 | 第三季度 | |
|---|---|---|---|
| 合同要求的交货台数 | 40台 | 60台 | 80台 |
| 实际生产的发动机台数 | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ |
| 生产费用(f(x)=ax+bx^2) | |||
| 存储费用(每季度 c元/台) | |||
| 生产能力 | 100台 | 100台 | 100台 |
| 存货 | 开始时无存货 |
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设第一、二、三季度分别生产 $x_1$ 台、$x_2$ 台、$x_3$ 台发动机.
则按照合同的规定, 需满足
\[
\begin{cases}
x_1\geqslant 40,\\
x_2+x_1-40\geqslant 60,
\end{cases}
\]
| 第一季度 | 第二季度 | 第三季度 | |
|---|---|---|---|
| 合同要求的交货台数 | 40台 | 60台 | 80台 |
| 实际生产的发动机台数 | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ |
| 合同约束 | $x_1\geqslant 40$ | $x_2+(x_1-40)\geqslant 60$ | $x_3+(x_2+(x_1-40)-60)\geqslant 80$ |
| 生产费用($f(x)=ax+bx^2$) | $f(x_1)$ | $f(x_2)$ | $f(x_3)$ |
| 存货量(台) | 开始时无存货 | $x_1-40$ | $x_2+(x_1-40)-60$ |
| 存储费用(每季度 c元/台) | 0 | $c\cdot(x_1-40)$ | $c\cdot(x_2+(x_1-40)-60)$ |
| 生产能力限制 | $x_1\leqslant 100$ | $x_2\leqslant 100$ | $x_3\leqslant 100$ |
| 备注 |
设第 $i$ 季度的存货量为 $y_i$ 台, 由上面的表格分析,
\[
y_1=0,\quad y_2=x_1-40,\quad y_3=x_2+(x_1-40)-60
\]
记 $T(y_i)$ 为第 $i$ 季度的存储费用, 根据题设,
\[
T(y_i)=c\cdot y_i.
\]
目标使得总费用最低, 因此目标函数为
\[
\min Z=\sum_{i=1}^{3}f(x_i)+T(y_i),
\]
具体的
\[
Z=(ax_1+bx_1^2)+(ax_2+bx_2^2)+(ax_3+bx_3^2)+c(x_1-40)+c(x_2+(x_1-40)-60).
\]
下面写出约束
（1）合同约束
\[
\begin{cases}
x_1&\geqslant 40,\\
x_2+(x_1-40)&\geqslant 60,\\
x_3+(x_2+(x_1-40)-60)&\geqslant 80.
\end{cases}
\]
（2）生产能力约束
\[
\begin{cases}
x_1\leqslant 100,\\
x_2\leqslant 100,\\
x_3\leqslant 100.\\
\end{cases}
\]
（3）其他约束
由于生产的台数是非负整数, 因此应满足
\[x_i\in\mathbb{N},\quad i=1,2,3.\]
Step 4. 写出 Lingo 代码