设 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leqslant 1,\\ 2x, & x > 1\end{cases}$, 求 $f'_{-}(1)$ 和 $f'_{+}(1)$, 并说明 $f'(1)$ 是否存在.
[hint]
事实上, 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 不连续, 当然在该点也就不可导.
类似的问题
设
\[
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\ln(1+3x^2)}{x}, & x\neq 0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]
求 $f'(0)$.
1
\[
f'_{-}(1)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(x+1)=2.
\]
\[
f'_{+}(1)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{2x-1}{x-1}=+\infty
\]
左导数存在, 右导数不存在, 因此 $f'(1)$ 不存在.
2
\[
\begin{split}
f'(0)&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\ln(1+3x^2)}{x}-0}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+3x^2)}{x^2}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2}{x^2}\\
&=3.
\end{split}
\]