问题及解答

Machin 公式

\[
\pi=16\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)5^{2n+1}}-4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)239^{2n+1}}
\]

这个公式已经可以用于实际的计算了. (1706 年, Machin 用这个公式将 $\pi$ 计算到了小数点后 100 位).

Reference:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4,  P. 341.

下面使用 Calculator 中sum()函数进行计算.  首先设置计算精度为小数点后200位.
>> setprecision(200)

>> sum((-1)^n/((2*n+1)*5^(2*n+1)),n,0,100)
in> sum((0-1)^n/((2*n+1)*5^(2*n+1)),n,0,100)

out> 0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319

------------------------

>> sum((-1)^n/((2*n+1)*239^(2*n+1)),n,0,100)
in> sum((0-1)^n/((2*n+1)*239^(2*n+1)),n,0,100)

out> 0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195

------------------------

>> 16*0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319-4*0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195
in> 16*0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319-4*0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195

out> 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172536915449587196202546254399102534602031340359642843665440324

精确到小数点后141位, 即

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253